As principais operações são: adição, subtração, divisão e multiplicação. Utilizando o processo da multiplicação podemos encontrar outra operação: a potenciação, que para a realização de seus cálculos é necessário saber multiplicar.
A base sempre será o valor do fator.
O expoente é a quantidade de vezes que o fator repete.
Daqui nós tiramos a regra para qualquer multiplicação de potências com mesma base.
Xa . Xb = Xa+b
Ao
cortar, estaremos retirando 2 unidades da potência de cima. Estas duas unidades
são referentes ao expoente 2 da potência de baixo.
Conserva-se a base e subtrai-se os expoentes.
Qualquer multiplicação tem a propriedade de comutatividade, ou seja, se invertermos a ordem de multiplicação o valor não se altera. Então vamos colocar esta multiplicação em outra ordem, 6.6.6.6.6.9.9.9.9.9 = (6.9).(6.9).(6.9).6.9).(6.9) Agora temos a multiplicação 6 · 9 aparecendo 5 vezes. Então, 65. 95 = (6.9)5
Generalizando:
Conserva-se o expoente e multiplica-se a base.
Como temos multiplicação em cima e em baixo da fração, podemos separar em 4 frações multiplicadas uma pela outra.
Generalizando:
Conserva-se o expoente e divide-se as bases
Vamos desenvolver este exemplo:
Os números envolvidos em uma multiplicação são chamados de fatores e o resultado da multiplicação é o produto, quando os fatores são todos iguais existe uma forma diferente de fazer a representação dessa multiplicação que é a potenciação.
2 . 2 . 2 . 2 = 16 → multiplicação de fatores iguais.
Podemos representar a mesma multiplicação da seguinte forma:
2 . 2 . 2 . 2 = 24 = 16
↓
Fatores iguais.
Essa representação é conhecida como potenciação, portanto, sempre que tivermos fatores iguais, podemos montar uma potência.
Representamos uma potência da seguinte forma: 2 . 2 . 2 . 2 = 16 → multiplicação de fatores iguais.
Podemos representar a mesma multiplicação da seguinte forma:
2 . 2 . 2 . 2 = 24 = 16
↓
Fatores iguais.
O expoente é a quantidade de vezes que o fator repete.
A potência é o resultado do produto.
Existem algumas regras que nos ajudam a mexer com estas potências.
Irei mostrar as propriedades uma a uma. Sempre ilustrando com um exemplo para tentar "demonstrar" de onde veio a regra.
Esta é a primeira propriedade pois é a mais utilizada de todas.
Por exemplo, se aparecer o número 54 multiplicado por 53, será igual a 57 . Este 7 veio da soma dos 4 fatores de 54 com os 3 fatores de 53 ou seja: 5.5.5.5.5.5.5 = 57.Daqui nós tiramos a regra para qualquer multiplicação de potências com mesma base.
Xa . Xb = Xa+b
O mesmo raciocínio mostrado para a multiplicação, pode ser aplicado para
a divisão.
O exemplo será 126 divididos
por 122, será igual a
124
Agora
podemos cortar os termos semelhantes que estão acima e abaixo da fração.
Portanto podemos cortar dois fatores 12 de cima
com dois fatores 12 de baixo. Ao
cortar, estaremos retirando 2 unidades da potência de cima. Estas duas unidades
são referentes ao expoente 2 da potência de baixo.
Veja que
esta multiplicação é igual à 124 , isto nos dá a regra para
qualquer divisão de potências com mesma base.
Genericamente, temos:
Até agora vimos multiplicação e divisão com termos de mesma base. E
quando não tiver mesma base??? O que podemos fazer?
Só podemos efetuar uma operação quando tivermos mesma base ou mesmo
expoente. O que vamos ver agora é justamente o segundo caso: expoentes iguais.
O exemplo será 65multiplicados
por 95:Qualquer multiplicação tem a propriedade de comutatividade, ou seja, se invertermos a ordem de multiplicação o valor não se altera. Então vamos colocar esta multiplicação em outra ordem, 6.6.6.6.6.9.9.9.9.9 = (6.9).(6.9).(6.9).6.9).(6.9) Agora temos a multiplicação 6 · 9 aparecendo 5 vezes. Então, 65. 95 = (6.9)5
E esta
propriedade podemos aplicar para qualquer número.
O mesmo raciocínio mostrado para a multiplicação, pode ser aplicado para
a divisão.
O exemplo será 84 divididos
por 54:Como temos multiplicação em cima e em baixo da fração, podemos separar em 4 frações multiplicadas uma pela outra.
Generalizando:
Conserva-se o expoente e divide-se as bases
Já vimos as principais propriedades de operações.
Agora vamos ver quando tivermos uma potência de um número que já tem uma potência. Veja o exemplo: (42)3
O que devemos fazer?Agora vamos ver quando tivermos uma potência de um número que já tem uma potência. Veja o exemplo: (42)3
Vamos desenvolver este exemplo:
(4.4)3 = (4.4.4.4.4.4) = (4)6
Agora
a potência fora do parênteses diz que devemos multiplicar o que tem dentro do
parênteses três vezes. E
isso nos dá a potência 46. E agora tiramos outra regra para
potências
Potência
de potência, multiplica-se os expoentes.
Quando
tivermos um número negativo elevado numa potência, devemos tomar a seguinte
precaução, veja os exemplo:
(-5)2 =
(-5) · (-5) = +25
|
(-2)4 =
(-2) · (-2) · (-2) · (-2) = +16
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Note,
então, que quando temos um número negativo elevado em qualquer expoente PAR este
se comporta como se fosse positivo, pois na multiplicação "menos com menos
dá mais":
(-5)2=52=25
|
(-2)4=24=16
|
Se
"k" for PAR (-X)k=Xk
|
E se
tivermos um expoente ímpar?
(-5)3=(-5)·(-5)·(-5)
|
Se
pegarmos os dois primeiro números multiplicados, temos (-5)2=+25,
substituindo ao lado:
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(-5)3=25·(-5)=-125
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Sempre
que tivermos um número negativo elevado em qualquer expoente ÍMPAR,
o sinal negativo permanece na resposta
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PEGA-RATÃO
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(-5)2 é
totalmente diferente de -52 . No primeiro caso o sinal de
menos também está elevado ao quadrado, então a resposta é +25. Já no segundo
caso, o menos não está elevado ao quadrado, somente o 5, portanto a resposta
é -25.
|
Toda e qualquer potência que tenha expoente negativo é equivalente a uma fração o qual o numerador é a unidade positiva e o denominador é a mesma potência, porém apresentando o expoente positivo.
Qualquer número diferente de zero elevado a um expoente negativo é igual ao inverso deste número elevado ao oposto do expoente:
O sinal negativo de um expoente não passa de um código que está nos alertando que a base está invertida. Com essa nova interpretação, a regra do expoente negativo se transforma em uma regra simples e fácil de ser aplicada no jogo matemático. Mas não esqueça: foi uma propriedade que a gerou.
E qual o significado de uma potência com expoente negativo? Esse tipo de potência representa uma fração onde o numerador é 1 e o denominador é a mesma potência, com o expoente positivo.
Por exemplo 5-2 é igual a (1/5)2
De forma geral,
Qualquer número diferente de zero elevado a um expoente negativo é igual ao inverso deste número elevado ao oposto do expoente:
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