Potenciação

As principais operações são: adição, subtração, divisão e multiplicação. Utilizando o processo da multiplicação podemos encontrar outra operação: a potenciação, que para a realização de seus cálculos é necessário saber multiplicar. 

          Os números envolvidos em uma multiplicação são chamados de fatores e o resultado da multiplicação é o  produto, quando os fatores são todos iguais existe uma forma diferente de fazer a representação dessa multiplicação que é a potenciação. 
2 . 2 . 2 . 2 = 16 → multiplicação de fatores iguais. 
Podemos representar a mesma multiplicação da seguinte forma: 

2 . 2 . 2 . 2 = 2⁴ = 16 
           ↓ 
Fatores iguais. 

         Essa representação é conhecida como potenciação, portanto, sempre que tivermos fatores iguais, podemos montar uma potência. 

         Representamos uma potência da seguinte forma: 

A base sempre será o valor do fator. 
O expoente é a quantidade de vezes que o fator repete. 

A potência é o resultado do produto. 

Existem algumas regras que nos ajudam a mexer com estas potências.

Irei mostrar as propriedades uma a uma. Sempre ilustrando com um exemplo para tentar "demonstrar" de onde veio a regra.

Esta é a primeira propriedade pois é a mais utilizada de todas.

Por exemplo, se aparecer o número 5⁴ multiplicado por 5³, será igual a 5⁷ . Este 7 veio da soma dos 4 fatores de 5⁴ com os 3 fatores de 5³ ou seja: 5.5.5.5.5.5.5 = 5^7.
Daqui nós tiramos a regra para qualquer multiplicação de potências com mesma base.

 X^a  .   X^b  =  X^a+b

O mesmo raciocínio mostrado para a multiplicação, pode ser aplicado para a divisão.

O exemplo será 12⁶ divididos por 12², será igual a  12⁴

Agora podemos cortar os termos semelhantes que estão acima e abaixo da fração.

Portanto podemos cortar dois fatores 12 de cima com dois fatores 12 de baixo.

 Ao cortar, estaremos retirando 2 unidades da potência de cima. Estas duas unidades são referentes ao expoente 2 da potência de baixo.

Veja que esta multiplicação é igual à 12⁴ , isto nos dá a regra para qualquer divisão de potências com mesma base.

Genericamente, temos:

                                         Conserva-se a base e subtrai-se os expoentes.

Até agora vimos multiplicação e divisão com termos de mesma base. E quando não tiver mesma base??? O que podemos fazer?

Só podemos efetuar uma operação quando tivermos mesma base ou mesmo expoente. O que vamos ver agora é justamente o segundo caso: expoentes iguais.

O exemplo será 6⁵multiplicados por 9⁵:

Qualquer multiplicação tem a propriedade de comutatividade, ou seja, se invertermos a ordem de multiplicação o valor não se altera. Então vamos colocar esta multiplicação em outra ordem, 6.6.6.6.6.9.9.9.9.9  = (6.9).(6.9).(6.9).6.9).(6.9) Agora temos a multiplicação 6 · 9 aparecendo 5 vezes. Então, 6⁵. 9⁵  = (6.9)⁵

E esta propriedade podemos aplicar para qualquer número.

Generalizando:

                                        Conserva-se o expoente e multiplica-se a base.

O mesmo raciocínio mostrado para a multiplicação, pode ser aplicado para a divisão.

O exemplo será 8⁴ divididos por 5⁴:

Como temos multiplicação em cima e em baixo da fração, podemos separar em 4 frações multiplicadas uma pela outra. 

Generalizando:

                                          Conserva-se o expoente e divide-se as bases

Já vimos as principais propriedades de operações.
Agora vamos ver quando tivermos uma potência de um número que já tem uma potência. Veja o exemplo:   (4²)³

O que devemos fazer?
Vamos desenvolver este exemplo:

(4.4)³  = (4.4.4.4.4.4) = (4)⁶

Agora a potência fora do parênteses diz que devemos multiplicar o que tem dentro do parênteses três vezes. E isso nos dá a potência 4⁶. E agora tiramos outra regra para potências

Potência de potência, multiplica-se os expoentes.

Quando tivermos um número negativo elevado numa potência, devemos tomar a seguinte precaução, veja os exemplo:

(-5)2 = (-5) · (-5) = +25

(-2)4 = (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = +16

Note, então, que quando temos um número negativo elevado em qualquer expoente PAR este se comporta como se fosse positivo, pois na multiplicação "menos com menos dá mais":

(-5)2=52=25

(-2)4=24=16

Se "k" for PAR (-X)k=Xk

E se tivermos um expoente ímpar?

(-5)3=(-5)·(-5)·(-5)	Se pegarmos os dois primeiro números multiplicados, temos (-5)2=+25, substituindo ao lado:
(-5)3=25·(-5)=-125	Sempre que tivermos um número negativo elevado em qualquer expoente ÍMPAR, o sinal negativo permanece na resposta

PEGA-RATÃO

(-5)2 é totalmente diferente de -52 . No primeiro caso o sinal de menos também está elevado ao quadrado, então a resposta é +25. Já no segundo caso, o menos não está elevado ao quadrado, somente o 5, portanto a resposta é -25.

Toda e qualquer potência que tenha expoente negativo é equivalente a uma fração o qual o numerador é a unidade positiva e o denominador é a mesma potência, porém apresentando o expoente positivo. 

E qual o significado de uma potência com expoente negativo? Esse tipo de potência representa uma fração onde o numerador é 1 e o denominador é a mesma potência, com o expoente positivo.

Por exemplo 5-² é igual a  (1/5)²

De forma geral, 

Qualquer número diferente de zero elevado a um expoente negativo é igual ao inverso deste número elevado ao oposto do expoente: 

O sinal negativo de um expoente não passa de um código que está nos alertando que a base está invertida. Com essa nova interpretação, a regra do expoente negativo se transforma em uma regra simples e fácil de ser aplicada no jogo matemático. Mas não esqueça: foi uma propriedade que a gerou.