Radiciação

O tópico em questão agora é a radiciação que é a operação inversa da exponenciação.

Observe a figura em vermelho à direita:

Esta imagem representa a raiz cúbica de oito. A expressão matemática  é um radical, ela é composta pelo número 3 que é o índice da raiz, pelo símbolo da radiciação e pelo número 8 que é o seu radicando.

Mas o que significa a raiz cúbica de oito?

Quando estudamos a potenciação, vimos que 2³ é igual a 2 _^. 2 _^. 2 que é igual a 8. Partimos do número 2 e através de uma multiplicação de 3 fatores iguais a 2, chegamos ao número 8. Agora temos o caminho inverso, araiz cúbica de oito é a operação que nos aponta qual é número que elevado a 3 é igual a 8, ou seja, é a operação inversa da potenciação.

Raízes de Radicando Real com Índice Não Nulo

A raiz enésima de a é igual a b, se e somente se b elevado a enésima potência for igual a a:

Não Existe a Raiz de um Radicando Negativo e Índice Par

Por quê?

Vamos tomar como exemplo a raiz quadrada de menos 16 expressa por . Segundo a definição temos:

Qual é o valor numérico que b deve assumir para que multiplicado por ele mesmo seja igual a -16?

Como sabemos na multiplicação de números reais ao multiplicarmos dois números, diferentes de zero, com o mesmo sinal, o resultado sempre será positivo, então não existe um número no conjunto dos números reais que multiplicado por ele mesmo dará um valor negativo, pois o sinal é o mesmo em ambos os fatores da multiplicação.

A Raiz de um Radicando Negativo e Índice Ímpar é Negativa

Em uma multiplicação se todos os sinais forem positivos, obviamente o produto final também será positivo, já se tivermos fatores negativos, se estes forem em quantidade par o resultado será positivo, se forem em quantidade ímpar o resultado será negativo. É evidente que nenhum dos fatores pode ser igual a zero. Então a raiz enésima de a, um número real negativo será negativa se o índice for ímpar. Se for par como vimos acima, não existirá.

Vamos analisar a raiz quinta de menos 32 que se expressa como :

Como o expoente de b é ímpar, ou seja, o número de fatores que representa a potência é impar, para que o resultado seja -32, é preciso que b seja negativo. Então a raiz de um número negativo e índice ímpar sempre será um número negativo.

Neste exemplo -2 é o número negativo que elevado a 5 resulta em -32, logo:

Note que na potência colocamos o -2 entre parênteses, pois se não o fizéssemos, apenas o 2 estaria elevado à quinta potência. Como o expoente é ímpar, não faria diferença no resultado se não os tivéssemos utilizado, mas isto seria imprescindível se o expoente fosse um número par, para que não houvesse erro de sinal no resultado da potenciação.

A Raiz de um Radicando Positivo também é Positiva

Não importa se o índice é par ou impar, em não sendo nulo, a raiz de um radicando positivo também será positiva.

Vamos analisar a , que se lê raiz quadrada de nove:

Logo 3 é o número que elevado ao quadrado dá 9.

Mas você pode também se perguntar:

E se for -3? Se elevarmos -3 ao quadrado também iremos obter nove!

Correto, mas lembra-se da definição da raiz para um radicando positivo?

Tanto o radicando quanto a raiz devem ser positivos, é por isto que não podemos considerar o -3.

A Raiz de um Radicando Nulo também é Nula

Isto é verdade desde que o índice não seja nulo também.

Exemplo:

, pois .

Propriedades da Radiciação

As propriedades que vamos estudar agora são consideradas no conjunto dos números reais positivos ou nulos, podendo não se verificar caso o radicando seja negativo, pois como sabemos, não existe raiz real de um número negativo.

A Raiz de uma Potência é uma Potência com Expoente Fracionário

Assim como de uma potenciação podemos chegar a uma radiciação, desta podemos chegar a uma potenciação:

Exemplo:

Já que n não pode ser zero, a partir desta propriedade concluímos que não existe raiz de índice zero. Se n fosse zero, o denominador da fração do expoente seria zero, que sabemos não ser permitido.

Mudança de Índice pela sua Multiplicação/Divisão e do Expoente do Radicando por um Mesmo número Não Nulo

Se multiplicarmos ou dividirmos tanto o índice do radical, quanto o expoente do radicando por um mesmo número diferente de zero, o valor do radical continuará o mesmo:

Exemplos:

Raiz de uma Potência

A raiz n de uma potência de a elevado a m, é a potência m da raiz n de a:

Exemplo:

Produto de Radicais de Mesmo Índice

O produto de dois radicais de mesmo índice é igual à raiz deste índice do produto dos dois radicandos:

Exemplo:

Vamos verificar:

Divisão de Radicais de Mesmo Índice

O quociente de dois radicais de mesmo índice é igual a raiz deste índice do quociente dos dois radicandos:

Exemplo:

Verificando:

Simplificação de Radicais Através da Fatoração

Podemos simplificar e em alguns casos até mesmo eliminar radicais, através da decomposição do radicando em fatores primos. O raciocínio é simples, decompomos o radicando em fatores primos por fatoração e depois simplificamos os expoentes que são divisíveis pelo índice do radicando.

Vamos simplificar  decompondo 91125 em fatores primos:

Como 91125 = 3^6 _. 5³ podemos dizer que:

Repare que tanto o expoente do fator 3⁶, quanto o expoente do fator 5³ são múltiplos do índice do radicando que é igual a 3. Vamos então simplificá-los:

Perceba que através da fatoração de 91125 e da simplificação dos expoentes dos fatores pelo índice do radicando, extraímos a sua raiz cúbica eliminando assim o radical.

Vejamos agora o caso do radical :

Logo 2205 = 3^2 _. 5 _^. 7², então:

Como os expoentes dos fatores 3² e 7² são divisíveis pelo índice 2, vamos simplificá-los retirando-os assim do radical:

Neste caso o expoente do fator 5 não é divisível pelo índice 2 do radicando, por isto após a simplificação não conseguimos eliminar o radical.

Agora vamos analisar o número :

Note que 729 = 3⁶, então:

Neste caso o expoente de 3⁶ não é divisível pelo índice 5, mas é maior, então podemos escrever:

Repare que agora o expoente do fator 3⁵ é divisível pelo índice 5, podemos então retirá-lo do radical:

Agora vamos pensar um pouco. Após a fatoração tínhamos o radical . O expoente 6 não é divisível por 5, pois ao realizarmos a divisão, obtemos um quociente de 1 e um resto também de 1. Pois bem, o 1 do quociente será o expoente da base 3 ao sair o radical. A parte que ainda ficou no radical terá como expoente o 1 do resto. Vamos a alguns exemplos para melhor entendermos a questão:

Simplifique .

Dividindo 18 por 7 obtemos um quociente de 2 é um resto de 4, logo fora do radical a base 5 terá o expoente 2do quociente e a base dentro do radical terá o expoente 4 que é o resto da divisão:

Logo:

Outro exemplo, simplifique .

A divisão de 15 por 5 resulta em quociente 3 e resto 0, pois a divisão é exata, mas não há problema. Seguindo as explicações temos:

Veja que quando o é resto for zero podemos eliminar o radical, já que o radicando sempre será igual a 1, pois todo número natural não nulo elevado a zero é igual a um:

Nos casos em que os expoentes de todos os fatores forem menores que o índice do radical como, por exemplo, em, a simplificação não poderá ser realizada.

História

A origem do símbolo √ usado para representar uma raiz é bastante especulativo. Algumas fontes dizem que o símbolo foi usado pela primeira vez pelos árabes, que o primeiro uso foi de Al-Qalasadi (1421-1486), e que o símbolo vem da letra árabe ج, a primeira letra da palavra "Jadhir".

Muitos, incluindo Leonhard Euler,^[1] acreditam que o símbolo origina-se da letra r, que é a primeira da palavra radix que em latim se refere à mesma operação matemática. O símbolo foi visto pela primeira vez impresso sem o vínculo (a linha horizontal que fica sobre os números dentro da raiz) em 1525 no Die Coss do matemático alemão Christoff Rudolff.

 Leonhard Euler. 'Institutiones calculi differentialis' (em Latin). [S.l.: s.n.], 1755.